درسنامه آموزشی فصل نهم ریاضی کلاس هشتم

1- اندازهٔ زاویه‌ها و کمان‌های خواسته شده را پیدا کنید.

$\overset\frown{AB}=2\times 57=114{}^\circ $
$\widehat{d}=\frac{\overset\frown{AB}}{2}=\frac{114{}^\circ }{2}=57{}^\circ $
$\widehat{e}=114{}^\circ $
 

$\overset\frown{j}=2\times 42=84{}^\circ $
$\widehat{h}=\frac{\overset\frown{BC}}{2}=\frac{84{}^\circ }{2}=42{}^\circ $
$\overset\frown{k}=2\times 33=66{}^\circ $
$\widehat{i}=\frac{\overset\frown{DA}}{2}=\frac{66{}^\circ }{2}=33{}^\circ $

2- در شکل زیر زاویهٔ مرکزی AOB برابر با ٧٢ درجه است. اندازهٔ کمان AB چند درجه است؟

$\overset\frown{AB}=72{}^\circ$

اگر، دهانهٔ پرگار را به اندازهٔ AB باز کنیم و با شروع از نقطهٔ B، پی‌ در پی کمان‌هایی بزنیم، چند کمان مساوی روی دایره جدا می‌شود؟ 5 کمان

$360\div 72=5$

3- در شکل روبه رو، دایره‌‌ای به هشت قسمت مساوی تقسیم شده است.
الف) شکل چند خط تقارن دارد؟ 8 خط تقارن

ب) اندازهٔ دو زاویهٔ مشخص شده را روی شکل پیدا کنید و بنویسید.

اندازه هر کمان    $360{}^\circ \div 8=45{}^\circ $
$\widehat{A}=\frac{\overset\frown{FD}}{2}=\frac{90{}^\circ }{2}=45{}^\circ $
$\overset\frown{F}=45{}^\circ$
$\widehat{K}=180{}^\circ -(45{}^\circ +45{}^\circ )=90{}^\circ $

4- دایره‌‌ای بکشید. سپس، چهارضلعی ABCD را طوری رسم کنید که هر چهار رأس آن روی دایره باشد.

چرا مجموع دو زاویهٔ روبه رو به هم در چهارضلعی ABCD برابر 180 درجه است؟

$\left. \begin{matrix}\widehat{A}=\frac{\overset\frown{BCD}}{2}  \\\widehat{C}=\frac{\overset\frown{BAD}}{2}  \\\end{matrix} \right\}\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{C}=\frac{\overset\frown{BCD}+\overset\frown{BAD}}{2}=\frac{360}{2}=180$

و به همین ترتیب خواهیم داشت.

$\widehat{B}+\widehat{D}=180$

5- در شکل رو به رو اندازهٔ کمان AB برابر x درجه است.

الف) اندازهٔ زاویهٔ ${{O}_{1}}$ را برحسب x بنویسید.

${{\widehat{O}}_{1}}=x{}^\circ $

ب) اندازهٔ کمان قرمز رنگ را برحسب x بنویسید.

$360{}^\circ -x$

ج) اندازهٔ زاویهٔ C را برحسب x بنویسید.
زاویه C محاطی است پس برابر است با نصف کمان رو‌به‌ رو‌ی آن

$\widehat{c}=\frac{360-x}{2}=180-\frac{x}{2}$

6- در شکل زیر، پره‌ها دوازده کمان مساوی روی محیط چرخ ایجاد کرده‌اند.
شعاع چرخ 30 سانتی‌متر است.

$360\div 12=30$

الف) طول TX چقدر است؟ همان قطر دایره است = 60 سانتی‌متر

ب) مثلث ZRT چه نوع مثلثی است؟ چرا؟ متساوی‌الاضلاع

ج) طول ZT چقدر است؟ 30 سانتی‌متر

د) مثلث XTZ چه نوع مثلثی است؟ چرا؟ قائم‌الزاویه

هـ) طول ZX چقدر است؟

$Z{{X}^{2}}={{60}^{2}}+{{30}^{2}}$
$Z{{X}^{2}}=3600-900$
$Z{{X}^{2}}=2700$
$ZX=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}$

مفاهیم و مهارت‌ها

در این فصل اصطلاحات زیر به کار رفته‌اند، مطمئن شوید که می‌توانید با جمله‌های خود، آنها را تعریف کنید و برای هر کدام مثالی بزنید.

- خط مماس
- زاویهٔ مرکزی
- زاویهٔ محاطی

در این فصل، روش‌های اصلی زیر مطرح شده‌اند، با یک مثال هر کدام را توضیح دهید و در دفتر خود خلاصهٔ درس را بنویسید.

- پیدا کردن مرکز دایره
- تساوی کمان‌ها و وترهای متناظر
- رسم خط مماس بر دایره
- رسم چندضلعی منتظم به کمک زاویهٔ مرکزی
- پیدا کردن زاویهٔ محاطی با توجه به کمان روبه روی آن

کاربرد

رسم چندضلعی‌های منتظم به کمک مفاهیم زاویهٔ مرکزی یکی از کاربردهای مهم این درس در طراحی شکل‌های تزیینی و معماری است.

1- با توجه به شکل روبه رو، اندازهٔ زاویه‌ها و کمان‌های زیر را بنویسید.

$\widehat{C}=30,\overset{\wedge }{\mathop{COB}}\,=60,\overset\frown{BC}=60$

2- کاغذی مربعی شکل به قطر ٢٤ سانتی‌متر داریم. مطابق شکل، بزرگ‌ترین دایره‌‌ای را که می‌توانستیم روی آن رسم کردیم. قطر این دایره را حساب کنید.

${{x}^{2}}+{{x}^{2}}={{24}^{2}}$
$2{{x}^{2}}=576$
${{x}^{2}}=\frac{576}{2}=288$
$x=\sqrt{288}=12\sqrt{2}$

3- الف) در شکل زیر، ضلع‌های روبه رو به هم در چهارضلعی با هم برابرند.

چرا چهارضلعی مستطیل است؟ زاویه محاطی رو‌به‌ رو قطر 90 درجه است. متوازی‌الاضلاعی که زاویه قائمه داشته باشد مستطیل است.

ب) شعاع دایره برابر ٥ و عرض مستطیل برابر $\sqrt{19}$ سانتی‌متر است.

طول مستطیل را به دست آورید.

${{x}^{2}}={{10}^{2}}-{{\sqrt{19}}^{2}}$
${{x}^{2}}=100-19$
${{x}^{2}}=81$
$x=\sqrt{81}=9$